Question

有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：
甲：对称轴是直线x=2；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式________．

Answer 1

y=±（x+1）（x-5）答案不唯一
分析：对称轴是直线x=2，则一次项系数与二次项系数的比是-4；与x轴两个交点的横坐标都是整数，根据二次函数与一元二次方程的关系，可知二次函数值y=0时，所对应的一元二次方程有两个整数解；三角形的面积=×底×高．据此作答．
解答：对称轴是直线x=2，则一次项系数与二次项系数的比是-4，
因而可设函数解析式是y=ax²-4ax+ac，
与y轴交点的纵坐标也是整数，因而ac是整数，
y=ax²-4ax+ac=a（x²-4x+c），与x轴两个交点的横坐标都是整数，
即方程x²-4x+c=0有两个整数解，设是-1和+5，则c=-5，
则y=ax²-4ax+ac=a（x²-4x-5），
∵以这三个交点为顶点的三角形的面积为3，
∴a=±．
则函数是：y=±（x+1）（x-5）．（答案不唯一）．
点评：本题考查了二次函数解析式的求解方法，特别需要注意的是已知对称轴就是已知二次项系数与一次项系数的关系，以及已知方程的解求方程的问题．