Question

已知：如图，抛物线y=

3

3

(x2-4x+a)与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，

3

)．
（1）直接写出a的值；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得⊙P与y轴和直线BC同时相切？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）把抛物线沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于A′、B′两点，与原抛物线交于点M，当△MA′B′的面积为

3

6

时，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把C的坐标代入函数解析式即可求得a的值；
（2）首先求得抛物线的对称轴是x=2，⊙P与y轴和直线BC同时相切，则圆心到直线的距离等于2，然后分P在x轴上方与x轴下方两种情况进行讨论，利用三角函数即可求解；
（3）根据平移的性质可得：A′B′=AB=2，作MN⊥x轴，垂足为N，根据△MA′B′的计算方法，即可求得m的值．

解答：解：（1）a=3（3分）

（2）抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的交点为H　A（1，0）B（3，0）（4分）
设P（2，y）作PD⊥BC，垂足为D，作PE⊥y轴，垂足为E，则PD=PE=2
∴当P在x轴上方时
∵tan∠CBO=

OC

OB

=

3

3

∴∠CBO=30°（5分）　　GH=

3

3

∴∠PGD=60°
∴PG=y-

3

3

=

PD

sin60°

=

4 3

3

PH=

5 3

3

（6分）
当P在x轴下方时PH=

3

（7分）
∴P的坐标为（2，

5 3

3

）或（2，-

3

）　　（8分）

（3）作MN⊥x轴，垂足为N　由平移可知，A′B′=AB=2
∵△MA′B′的面积为

3

6

∴MN=

3

6

（9分）
当y=

3

6

时，

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

=

3

6

（10分）
∴x=

4± 6

2

∴m=

4+ 6

2

-

4- 6

2

=

6

（11分）
当y=-

3

6

时，

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

=-

3

6

（12分）
∴x=

4± 2

2

∴m=

4+ 2

2

-

4- 2

2

=

2

（13分）
∴m的值为

6

或

2

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．