题目内容
(2013•自贡)在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231159446556074/SYS201310212311594465560004_ST/0.png)
(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果);
(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231159446556074/SYS201310212311594465560004_ST/images1.png)
【答案】分析:(1)根据∠1=30°,∠2=60°,可知△ABC为直角三角形.根据勾股定理解答.
(2)延长BC交l于T,比较AT与AM、AN的大小即可得出结论.
解答:解:(1)∵∠1=30°,∠2=60°,
∴△ABC为直角三角形.
∵AB=40km,AC=
km,
∴BC=
=
=16
(km).
∵1小时20分钟=80分钟,1小时=60分钟,
∴
×60=12
(千米/小时).
(2)作线段BR⊥x轴于R,作线段CS⊥x轴于S,延长BC交l于T.
∵∠2=60°,
∴∠4=90°-60°=30°.
∵AC=8
(km),
∴CS=8
sin30°=4
(km).
∴AS=8
cos30°=8
×
=12(km).
又∵∠1=30°,
∴∠3=90°-30°=60°.
∵AB=40km,
∴BR=40•sin60°=20
(km).
∴AR=40×cos60°=40×
=20(km).
易得,△STC∽△RTB,
所以
=
,
,
解得:ST=8(km).
所以AT=12+8=20(km).
又因为AM=19.5km,MN长为1km,∴AN=20.5km,
∵19.5<AT<20.5
故轮船能够正好行至码头MN靠岸.
点评:此题结合方向角,考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力.计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.
(2)延长BC交l于T,比较AT与AM、AN的大小即可得出结论.
解答:解:(1)∵∠1=30°,∠2=60°,
∴△ABC为直角三角形.
∵AB=40km,AC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231159446556074/SYS201310212311594465560004_DA/0.png)
∴BC=
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∵1小时20分钟=80分钟,1小时=60分钟,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231159446556074/SYS201310212311594465560004_DA/4.png)
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(2)作线段BR⊥x轴于R,作线段CS⊥x轴于S,延长BC交l于T.
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∴∠4=90°-60°=30°.
∵AC=8
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∴CS=8
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∴AS=8
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231159446556074/SYS201310212311594465560004_DA/9.png)
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又∵∠1=30°,
∴∠3=90°-30°=60°.
∵AB=40km,
∴BR=40•sin60°=20
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231159446556074/SYS201310212311594465560004_DA/12.png)
∴AR=40×cos60°=40×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231159446556074/SYS201310212311594465560004_DA/13.png)
易得,△STC∽△RTB,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231159446556074/SYS201310212311594465560004_DA/14.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231159446556074/SYS201310212311594465560004_DA/15.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231159446556074/SYS201310212311594465560004_DA/16.png)
解得:ST=8(km).
所以AT=12+8=20(km).
又因为AM=19.5km,MN长为1km,∴AN=20.5km,
∵19.5<AT<20.5
故轮船能够正好行至码头MN靠岸.
点评:此题结合方向角,考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力.计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.
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