Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线相交于点E，∠ADC=60°．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）若AD=2，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，即∠ODC=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠ODA=30°，
在⊙O中OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠E=∠ADC-∠EAD=60°-30°=30°=∠EAD，
∴DA=DE，
即△ADE是等腰三角形．

（2）解：由（1）知，DE=DA=，
在Rt△ODE中，，
OE=2OD=4，
∴BE=OE-OB=OE-OD=4-2=2，
答：BE的长是2．
分析：（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，推出∠ODC=90°，求出∠OAD=∠ODA=30°，根据三角形的外角性质求出∠E=∠A，即可得出答案；
（2）由（1）知，DE=DA=，根据三角函数的定义求出OD，进一步求出OE，即可得到答案．
点评：本题主要考查对等腰三角形的判定，切线的性质，锐角三角函数的定义，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，求出DA=DE是解此题的关键，题型较好，难度适中．