题目内容

已知：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=BC=4 $数学公式$ ，求梯形的面积．

解：方法一：过点B作BE⊥DA交DA的延长线于E．
∵∠BAD=120°，
∴∠EAB=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3=30°．
在Rt△BDE中，∵BD=4 $\text{[math]}$ ，
∴BE= $\text{[math]}$ BD=2 $\text{[math]}$ ，ED=BD×cos30°=6．
在Rt△BEA中，
∴AE=BE•cot60°=2 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =2，
∴AD=ED-AE=6-2=4，

∴S_梯形= $\text{[math]}$ （AD+BC）•EB= $\text{[math]}$ ×（4+4 $\text{[math]}$ ）×2 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ +12．

方法二：过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥BC于F．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB=AD．
∵∠BAD=120°，
∴∠2=∠3=∠1=30°．
∵BD=4 $\text{[math]}$ ，
∴ED= $\text{[math]}$ BD=2 $\text{[math]}$ ．
在Rt△AED中，AD= $\text{[math]}$ =4，
在Rt△BFD中，DF= $\text{[math]}$ BD=2 $\text{[math]}$ ，
∴S_梯形= $\text{[math]}$ （AD+BC）•DF= $\text{[math]}$ ×（4+4 $\text{[math]}$ ）×2 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ +12．
分析：过点B作BE⊥DA交DA的延长线于E，则分别构成两个直角三角形，Rt△BDE，Rt△ABE，利用直角三角形的性质求得ED，BE，AD，BD的长，再利用梯形的面积公式即可求得梯形的面积．
点评：此题考查梯形的性质及解直角三角形的综合运用．