题目内容
如图①、②是小明在一次课外活动中剪的两块直角三角形硬纸板．图①中，∠C=90°，∠A=45°，AC=4cm；图②中，∠F=90°，∠D=30°，EF=6cm．操作：小明将两块三角形硬纸板如图③所示放置，将△ABC的直角边CB与△DEF的斜边DE重合，点B与点E重合，使△ABC沿ED方向向下滑动，当点C与点D重合时停止运动．
解决问题：
（1）在△ABC沿ED方向滑动的过程中，A、E两点间的距离逐渐
（2）假如△ABC沿ED方向以每秒1cm的速度向下滑，小明经过进一步地探究，设想了如下几个问题：
问题①：当△ABC向下滑动多少秒，A、E的连线与DF平行？
问题②：在△ABC向下滑动多少秒，以线段DC、AE、EF的长度为三边长的三角形恰好构成直角三角形？
问题③：在△ABC向下滑动的过程中，是否存在某个位置，使得∠AEC=15°？如果存在，求出下滑时间；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．
解决问题：
（1）在△ABC沿ED方向滑动的过程中，A、E两点间的距离逐渐
变大
变大
．（填“不变”、“变大”或“变小”）．（2）假如△ABC沿ED方向以每秒1cm的速度向下滑，小明经过进一步地探究，设想了如下几个问题：
问题①：当△ABC向下滑动多少秒，A、E的连线与DF平行？
问题②：在△ABC向下滑动多少秒，以线段DC、AE、EF的长度为三边长的三角形恰好构成直角三角形？
问题③：在△ABC向下滑动的过程中，是否存在某个位置，使得∠AEC=15°？如果存在，求出下滑时间；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．
分析：（1）根据题意，观察图形，A、E两点间的距离逐渐变大；
（2）问题①：根据“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得ED=12cm．由等腰直角△的长度；
②设DC=x，则AE2=EC2+AC2=（12-x）2+16，再分情况讨论：AE为斜边；CD为斜边；EF为斜边．综合分析即可求得CD的长度；
③假设∠AEC=15°，则通过三角形外角定理和三角形内角和定理求得∠EAB=30°，如图3，过点A作∠BAE的平分线，交DE于点P．则∠1=∠2=15°，∠CAB+∠3=60°，
所以在直角△ACP中，∠APC=30°，这与∠APC＞∠AEC相矛盾．
（2）问题①：根据“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得ED=12cm．由等腰直角△的长度；
②设DC=x，则AE2=EC2+AC2=（12-x）2+16，再分情况讨论：AE为斜边；CD为斜边；EF为斜边．综合分析即可求得CD的长度；
③假设∠AEC=15°，则通过三角形外角定理和三角形内角和定理求得∠EAB=30°，如图3，过点A作∠BAE的平分线，交DE于点P．则∠1=∠2=15°，∠CAB+∠3=60°，
所以在直角△ACP中，∠APC=30°，这与∠APC＞∠AEC相矛盾．
解答：
解：（1）根据图1知，在△ABC沿ED方向滑动的过程中，A、E两点间的距离逐渐变大．
（2）问题①：如图2，∵∠F=90°，∠D=30°，EF=6cm
∴DE=12cm．
∵∠ACB=90°，∠A=45°，AC=4cm
∴BC=AC=4cm
连接AE，设AE∥DF．
∴∠AEC=∠D=30°，
∴在Rt△ACE中，EC=4
cm
∴BE=EC-BC=（4
-4）cm，
∴△ABC向下滑动的时间是（4
-4）÷1=4
-4（秒），即当△ABC向下滑动（4
-4）秒时，A、E的连线与DF平行；
问题②：设CD=x，在Rt△ACE中，AE2=EC2+AC2=（12-x）2+16，
∵DE=12cm，BC=4cm，
∴CD≤8cm，
（I）当AE为斜边时，
由CD2+EF2=AE2得，x2+62=（12-x）2+16，x=
，
∴此时△ABC向下滑动的时间是
÷1=
（秒）；
（II）当CD为斜边时，
由AE2+EF2=CD2得，（12-x）2+16+62=x2，x=
＞8（不合题意舍去）；
（III）当EF为斜边时，
由CD2+AE2=EF2得，x2+（12-x）2+16=36，x2-24x+160=0，
方程无解，
∴由（I）、（II）、（III）得，当△ABC向下滑动
秒时，以线段DC、AE、EF的长度为三边长的三角形恰好构成直角三角形；
问题③：不存在这样的位置，使得∠AEC=15°．
理由如下：
假设∠AEC=15°，则∠EAB=180°-∠AEC-∠ABE=30°．
如图3，过点A作∠BAE的平分线，交DE于点P．
则∠1=∠2=15°，∠CAB+∠3=60°，
∴∠APC=30°，这与∠APC＞∠AEC相矛盾．∴不存在这样的位置，使得∠AEC=15°．
故答案为：变大．
解：（1）根据图1知，在△ABC沿ED方向滑动的过程中，A、E两点间的距离逐渐变大．（2）问题①：如图2，∵∠F=90°，∠D=30°，EF=6cm
∴DE=12cm．
∵∠ACB=90°，∠A=45°，AC=4cm
∴BC=AC=4cm
连接AE，设AE∥DF．
∴∠AEC=∠D=30°，
∴在Rt△ACE中，EC=4
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∴BE=EC-BC=（4
| 3 |
∴△ABC向下滑动的时间是（4
| 3 |
| 3 |
| 3 |
问题②：设CD=x，在Rt△ACE中，AE2=EC2+AC2=（12-x）2+16，
∵DE=12cm，BC=4cm，
∴CD≤8cm，
（I）当AE为斜边时，
由CD2+EF2=AE2得，x2+62=（12-x）2+16，x=
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| 6 |
∴此时△ABC向下滑动的时间是
| 31 |
| 6 |
| 31 |
| 6 |
（II）当CD为斜边时，
由AE2+EF2=CD2得，（12-x）2+16+62=x2，x=
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| 6 |
（III）当EF为斜边时，
由CD2+AE2=EF2得，x2+（12-x）2+16=36，x2-24x+160=0，
方程无解，
∴由（I）、（II）、（III）得，当△ABC向下滑动
| 31 |
| 6 |
问题③：不存在这样的位置，使得∠AEC=15°．
理由如下：
假设∠AEC=15°，则∠EAB=180°-∠AEC-∠ABE=30°．
如图3，过点A作∠BAE的平分线，交DE于点P．
则∠1=∠2=15°，∠CAB+∠3=60°，
∴∠APC=30°，这与∠APC＞∠AEC相矛盾．∴不存在这样的位置，使得∠AEC=15°．
故答案为：变大．
点评：本题把相似三角形的判定和勾股定理结合求解．综合性强，难度大．考查学生综合运用数学知识的能力．注意解题的方法不惟一，可让学生采用不同方法求解，培养学生的思维能力．
练习册系列答案
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