题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DH⊥AC于点H.
(1)判断DH与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:H为CE的中点;
(3)若BC=10,cosC=,求AE的长.
【答案】(1)相切;(2)证明见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)连结OD、AD,如图,先利用圆周角定理得到∠ADB=90°,则根据等腰三角形的性质得BD=CD,再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC,加上DH⊥AC,所以OD⊥DH,然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线;
(2)连结DE,如图,有圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B,再证明∠DEC=∠C,然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH;
(3)利用余弦的定义,在Rt△ADC中可计算出AC=,在Rt△CDH中可计算出CH=,则CE=2CH=,然后计算AC﹣CE即可得到AE的长.
试题解析:(1)DH与⊙O相切.理由如下:
连结OD、AD,如图,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD,而AO=BO,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DH⊥AC,∴OD⊥DH,∴DH为⊙O的切线;
(2)证明:连结DE,如图,∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形,∴∠DEC=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠DEC=∠C,∵DH⊥CE,∴CH=EH,即H为CE的中点;
(3)解:在Rt△ADC中,CD=BC=5,∵cosC==,∴AC=,在Rt△CDH中,∵cosC==,∴CH=,∴CE=2CH=,∴AE=AC﹣CE==.
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