题目内容

【题目】如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DHAC于点H.

(1)判断DH与O的位置关系,并说明理由;

(2)求证:H为CE的中点;

(3)若BC=10,cosC=,求AE的长.

【答案】(1)相切;(2)证明见解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)连结OD、AD,如图,先利用圆周角定理得到ADB=90°,则根据等腰三角形的性质得BD=CD,再证明OD为ABC的中位线得到ODAC,加上DHAC,所以ODDH,然后根据切线的判定定理可判断DH为O的切线;

(2)连结DE,如图,有圆内接四边形的性质得DEC=B,再证明DEC=C,然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH;

(3)利用余弦的定义,在RtADC中可计算出AC=,在RtCDH中可计算出CH=,则CE=2CH=,然后计算AC﹣CE即可得到AE的长.

试题解析:(1)DH与O相切.理由如下:

连结OD、AD,如图,AB为直径,∴∠ADB=90°,即ADBC,AB=AC,BD=CD,而AO=BO,OD为ABC的中位线,ODAC,DHAC,ODDH,DH为O的切线;

(2)证明:连结DE,如图,四边形ABDE为O的内接四边形,∴∠DEC=B,AB=AC,∴∠B=C,∴∠DEC=C,DHCE,CH=EH,即H为CE的中点;

(3)解:在RtADC中,CD=BC=5,cosC==AC=,在RtCDH中,cosC==CH=CE=2CH=AE=AC﹣CE==

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