题目内容

(2010•河北区模拟)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个不同的交点A(1,0)、B(-3,0),与y轴的负半轴交于点C,且S△ABC=6.
(Ⅰ)求该二次函数的解析式和顶点P的坐标;
(Ⅱ)经过A、B、P三点画⊙O′,求⊙O′的面积;
(Ⅲ)设抛物线上有一动点M(a,b),连AM,BM,试判断△ABM能否是直角三角形?若能,求出M点的坐标;若不能,请说明理由.
分析:(Ⅰ)由A(1,0)、B(-3,0),与y轴的负半轴交于点C,且S△ABC=6,即可求得c的值,即点C的坐标,然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式,然后利用配方法即可求得顶点P的坐标;
(Ⅱ)由经过A、B、P三点画⊙O′,即可知O′在以△ABP的三边的垂直平分线的交点处,则过点P作PC⊥AB于C,根据二次函数的对称性,可知点O′在此直线PC上,即可设O′为(-1,m),然后由O′P=O′B,即可求得m的值,继而得到⊙O′的半径长,利用圆的面积公式求得⊙O′的面积;
(3)由抛物线上有一动点M(a,b),△ABM是直角三角形,可知∠AMB是直角,然后设M(x,x2+2x-3),根据勾股定理,即可求得方程:(x+3)2+(x2+2x-3)2+(x-1)2+(x2+2x-3)2=16,解此方程即可求得M点的坐标.
解答:解:(Ⅰ)∵y轴的负半轴交于点C(0,c),
∴c<0,
∵A(1,0)、B(-3,0),
∴AB=4,
∴S△ABC=
1
2
×AB×|c|=6,
∴c=-3,
∴点C的坐标为(0,-3),
a+b+c=0
9a-3b+c=0
c=-3

解得:
a=1
b=2
c=-3

∴该二次函数的解析式为:y=x2+2x-3,
∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴顶点P的坐标为(-1,-4);

(Ⅱ)如图:根据题意得:PA=PB,
过点P作PC⊥AB于C,
∴AC=BC,
∴O′在PC上,
设O′的坐标为(-1,m),
∵O′P=O′B=
BC2+O′C2

∴m-(-4)=
4+m2

解得:m=-
3
2

∴O′P=-
3
2
+4=
5
2

∴⊙O′的面积为:
25
4
π;

(Ⅲ)存在.
设抛物线上有一动点M(x,x2+2x-3),
若△ABM是直角三角形,
则∠AMB=90°,
∴AM2+BM2=AB2
∴(x+3)2+(x2+2x-3)2+(x-1)2+(x2+2x-3)2=16,
∴2(x2+2x-3)2+(2x2+4x+10)=16,
∴2(x2+2x-3)2+2(x2+2x-3)+16=16,
∴(x2+2x-3)(x2+2x-3+1)=0,
解得:x1=-3(舍去),x2=1(舍去),x3=
3
-1,x4=-
3
-1,
当x3=
3
-1时,y=-1,
当x4=-
3
-1时,y=-1,
∴M点的坐标为:(
3
-1,-1)或(-
3
-1,-1).
点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外接圆、勾股定理、两点间的距离公式等知识.此题综合性很强,难度较大,解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用.
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