Question

下列判断正确的有（　　）
①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形；
②中心投影的投影线彼此平行；
③在周长为定值π的扇形中，当半径为

π

4

时扇形的面积最大；
④相等的角是对顶角的逆命题是真命题．

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

分析：根据对顶角的性质、扇形面积的计算、中心投影、二次函数的最值等知识点判断各命题的真假，即可得出答案．

解答：解：①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形，此命题正确，故①正确；
②中心投影与原物体所对应点的连线都相交于一点，平行投影与原物体所对应点的连线都相互平行，故②错误；
③在周长为定值π的扇形中，当半径为

π

4

时扇形的面积最大；
设a为扇形圆心角，
2r+2πra/2π=2r+ar=π    a=（π-2r）/r，
s=

aπr2

2π

=

(π-2r)

2

×r=

1

2

（-2r²+πr），
根据二次函数极值公式
当r=

π

4

时扇形的面积最大，故③正确；
④相等的角是对顶角的逆命题是：若两个角是对顶角，则这两个角相等，为真命题．故④正确．
故选B．

点评：本题主要考查了二次函数的最值、对顶角的性质、扇形面积的计算、中心投影等知识点，考查了学生对综合知识的掌握程度，属于中档题．