Question

已知：⊙O的半径OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中点，点P是射线AO上一点（与点A不重合），直线PC与射线BO交于点D．
（1）当点P在⊙O上，求OD的长．
（2）若点P在AO的延长线上，设OP=x，，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
（3）连接CO，若△PCO与△PCA相似，求此时BD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接BP，根据C是AB的中点，O是AP的中点，判断出点D是△ABP的重心，然后根据三角形的重心到顶点的距离等于对边中点的距离的2倍解答即可；
（2）过点O作OE∥AB，交PC于点E，根据平行线分线段成比例定理表示出、，再根据点C是AB的中点整理即可得解；
（3）①当P在AO延长线上时，根据相似三角形对应角相等可得∠PCO=∠A，然后求出∠PCO=∠ABO，再根据等腰三角形三线合一的性质可得OC⊥AB，然后求出∠AOC=∠BCD，再求出△ACO和△BDC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可；②P在AO上时，根据△PCO与△PCA相似先判定出CP⊥AO，利用相似三角形对应边成比例列式求出PO，过点B作BH⊥AO于H，再求出OH，然后利用相似三角形对应边成比例列式求出OD，再根据BD=OB+OD代入数据计算即可得解．
解答：解：（1）当P在⊙O上时，连接BP，
∵C是AB中点，O是AP中点，
∴点D为△ABP的重心，
∴OD=OB，
∵OA=OB=5，
∴OD=×5=；

（2）如图，过点O作OE∥AB，交PC于点E，
∵OE∥AB，
∴=，=，
又∵AC=BC，
∴=，
即y=（x＞0）；

（3）①如图1，当P在AO延长线上时，
∵△PCO∽△PAC，
∴∠PCO=∠A，
∵∠A=∠ABO，
∴∠PCO=∠ABO，
∵OA=OB，点C是AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠PCO+∠BCD=90°，
又∵∠A+∠AOC=90°，
∴∠BCD=∠AOC，
∴△ACO∽△BDC，
∴=，
即=，
∴BD=；
②如图2，当P在AO上时，∵△PCO∽△PAC，
∴∠PCO=∠A，
∴∠A+∠ACP=∠PCO+∠ACP=90°，
∴CP⊥AO，
∴△ACP∽△AOC，
∴=，
∵AB=8，C是AB的中点，
∴AC=×8=4，
∴=，
解得AP=，
∴PO=AO-AP=5-=，
过点B作BH⊥AO于H，则OH=PH-OP=AP-OP=-=，
∵CP⊥AO，BH⊥AO，
∴PD∥BH，
∴=，
即=，
∴OD=，
∴BD=OB+OD=5+=，
综上所述，若△PCO与△PCA相似，此时BD的长为或．
点评：本题是圆的综合题型，主要考查了三角形的重心性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，（1）需要熟记三角形的重心到顶点的距离等于对边中点的距离的2倍，（2）作辅助线利用=起到中间过渡是解题的关键，（3）难点在于要分情况讨论．