Question

将一个量角器和一个含30°角的直角三角板如图1放置，图2是由它抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，BC=OD
（1）求证：FC∥DB；
（2）当OD=3，sin∠ABD=

3

5

时，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）由AB切半圆O于点F，得到∠OFB=90°，而∠ABC=90°，则OF∥BC，而OF=OD=BC，得到四边形OFCB是平行四边形，所以FC∥DB；
（2）在Rt△OFB中，根据sin∠ABO=

3

5

，OF=OD=3，得到OB=5，FB=4．在Rt△ABC中，得到AB=3

3

，即可得到AF的长．

解答：（1）证明：∵AB切半圆O于点F，
∴OF⊥AB，
即∠OFB=90°，
又∵△ABC为直角三角形，
∴∠ABC=90°．
∴∠OFB=∠ABC．
∴OF∥BC．
又∵OF=OD，OD=BC，
∴OF=BC．
∴四边形OFCB是平行四边形．
∴FC∥OB．
即FC∥DB；

（2）解：在Rt△OFB中，
∵sin∠ABO=

3

5

，OF=OD=3，
∴OB=5，FB=4．
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，∠A=30°，BC=OD=3，
∴AB=3

3

．
∴AF=3

3

-4．

点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．也考查了平行四边形的判定与性质以及含30度角的直角三角形三边的关系．