题目内容
现有一形如直角三角板的三角形ABC（如图1），其中∠C=90°，∠A=45°，该三角形内有一个半径为1cm的⊙O，圆心O到三边的距离均为
cm．将△ABC绕点C逆时针方向旋转，旋转角为α （0°＜α≤90°），旋转后的三角形记为△EFC，⊙O记为⊙P．（1）当α=45°时（如图2），试判断EF与CB的位置关系并说明理由；
（2）当⊙P与⊙O相外切时（如图3），①求旋转角α；②求⊙P扫过的面积；
（3）当CF与⊙O相切时，则sinα=______
【答案】分析：（1）根据等腰直角三角形的锐角是45°，旋转角是45°，即可得到∠F=∠FCB，从而判断EF∥BC；
（2）①根据两圆外切的性质：圆心距等于半径的和，即可求得OP的长，求得OC的长，则△OPC的形状即可判断，从而求得旋转角；
②根据⊙P扫过的面积S=S扇形CIJ-S扇形CGH+S⊙O，利用扇形的计算公式和圆的面积公式即可求解；
（3）首先求得旋转角，即可得到．
解答：
解：（1）EF∥CB．
理由：∵当α=45时，∠F=∠FCB，
∴EF∥CB；
（2）连接CO、CP，作OM⊥BC于M．
在直角△OCM中，OM=
，∠OCM=45°，
则OC=2，则OC=CP=2，
①∵当⊙P与⊙O相外切时，OP=2cm，
∴CO=CP=OP
∴∠PCO=60°
∴旋转α=60°
②S扇形CIJ-S扇形CGH=
则S=S扇形CIJ-S扇形CGH+S⊙O=
；
（3）当如图（1）时，作PN⊥AC，
则在直角△PNC中，
∵PN=1，CP=2，
∴∠PCN=30°，
∵∠ACO=45°，
∴∠PCO=75°，即α=75°
则sinα=sin75°=
；
当如图（2）时，连接OC、PC，设⊙P与AC切于点Q，连接PQ．
则∠ACP=30°，∠ACO=45°，
因而旋转角α=∠ACO-∠ACP=15°，
则sinα=sin15°=
．
故答案是：
或
．
点评：本题考查了扇形的面积公式，切线的性质，以及三角函数，正确作出（3）中的两种情况的图形，求得旋转角的度数是关键．
（2）①根据两圆外切的性质：圆心距等于半径的和，即可求得OP的长，求得OC的长，则△OPC的形状即可判断，从而求得旋转角；
②根据⊙P扫过的面积S=S扇形CIJ-S扇形CGH+S⊙O，利用扇形的计算公式和圆的面积公式即可求解；
（3）首先求得旋转角，即可得到．
解答：
解：（1）EF∥CB．理由：∵当α=45时，∠F=∠FCB，
∴EF∥CB；
（2）连接CO、CP，作OM⊥BC于M．
在直角△OCM中，OM=
，∠OCM=45°，则OC=2，则OC=CP=2，
①∵当⊙P与⊙O相外切时，OP=2cm，
∴CO=CP=OP
∴∠PCO=60°
∴旋转α=60°
②S扇形CIJ-S扇形CGH=
则S=S扇形CIJ-S扇形CGH+S⊙O=
；（3）当如图（1）时，作PN⊥AC，
则在直角△PNC中，
∵PN=1，CP=2，
∴∠PCN=30°，
∵∠ACO=45°，
∴∠PCO=75°，即α=75°
则sinα=sin75°=
；当如图（2）时，连接OC、PC，设⊙P与AC切于点Q，连接PQ．
则∠ACP=30°，∠ACO=45°，
因而旋转角α=∠ACO-∠ACP=15°，
则sinα=sin15°=
．故答案是：
或．点评：本题考查了扇形的面积公式，切线的性质，以及三角函数，正确作出（3）中的两种情况的图形，求得旋转角的度数是关键．
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