Question

平面上给定四个点，两两连接这四点的诸直线不平行，不垂直，也不重合．过每一点作其余三点两两连接的直线的垂线，若不算已知的四点，这些垂线间有多少个不同交点？证明你的结论．

Answer 1

分析：首先求出过每一点作其余三点两两连接的直线的垂线的条数，然后求出过4个点能作出的总的垂线条数，最后根据组合的知识求出这些垂线间交点的个数．

解答：解：从A点出发的三个垂线有一个交点，记数1；
   从A点出发的三个垂线与从B点出发的三个垂线中各有一条线与CD垂直，故从A出发的与CD垂直的直线与B点出发的三个垂线有两个交点，从A点出发的另两个垂线与B点出发的三个垂线各有三个交点，故从A，B出发的垂线的交点个数为2+3+3=8；
 同理从A，C； A，D出发的垂线的交点个数也为2+3+3=8；
从B，D；B，C；C，D出发的垂线交点个数也为8个，而各点出发的三条垂线本身一个交点，由此可得1+1+1+1+8×6=52．

点评：本题主要考查排列与组合的知识，解答本题的关键是求出这些点过另外3点两两连接的直线的垂线的条数，再利用组合的知识很容易解答，本题难度一般．