Question

已知△ABC的周长为1，连接△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根据已知条件，首先可知各三角形都相似，然后根据题意可得规律：第n个三角形与原三角形的相似比为1：2^n-1，又由△ABC周长为1，即可求得第2010个三角形的周长．
解答：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，
∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，
∴它们相似，且相似比为1：2，
同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，
即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：2²，
以此类推：第2010个三角形与原三角形的相似比为1：2²⁰⁰⁹，
∵△ABC周长为1，
∴第2010个三角形的周长为，
故选D．
点评：此题考查了相似三角形的性质与三角形中位线的性质．此题难度较大，解题的关键是找到规律：第n个三角形与原三角形的相似比为1：2^n-1．