Question

（1）观察一列数a₁=3，a₂=9，a₃=27，a₄=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是

3

；根据此规律，如果a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₆=

3⁶

，a_n=

3ⁿ

；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2²+2³+…+2¹⁰的值，可令S10=1+2+22+23+…+210①将①式两边同乘以2，得

2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹

②，由②减去①式，得S₁₀=

2¹¹-1

．
（3）若（1）中数列共有20项，设S₂₀=3+9+27+81+…+a₂₀，请利用上述规律和方法计算S₂₀的值．
（4）设一列数1，

1

2

，

1

4

，

1

8

，…，

1

2n-1

的和为S_n，则S_n的值为

2-

1

2n-1

．

Answer 1

分析：（1）观察不难发现，后一个数是前一个数的3倍，然后解答即可；
（2）根据运算过程计算即可得解；
（3）根据（2）的方法，等式两边都乘以3，然后相减进行计算即可得解；
（4）把所列等式两边都乘以

1

2

，然后相减即可得解．

解答：解：（1）∵9÷3=3，27÷9=3，81÷27=3，
∴这个常数是3，
∵a₁=3=3¹，a₂=9=3²，a₃=27=3³，a₄=81=3⁴，…，
∴a₆=3⁶，a_n=3ⁿ；

（2）∵S₁₀=1+2+2²+2³+…+2¹⁰，①
∴①式两边同乘以2得，2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹，②
②-①得，S₁₀=2¹¹-1；

（3）∵S₂₀=3+9+27+81+…+3²⁰，①
∴3S₂₀=9+27+81+…+3²¹，②
②-①得，2S₂₀=3²¹-3，
∴S₂₀=

1

2

（3²¹-3）；

（4）∵S_n=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-1

，①
∴

1

2

S_n=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

，②
①-②得，

1

2

S_n=1-

1

2n

，
∴S_n=2-

1

2n-1

．
故答案为：（1）3，3⁶，3ⁿ；（2）2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹，2¹¹-1；（4）2-

1

2n-1

．

点评：本题是对数字变化规律的考查，读懂题目信息并理解数列和的求解求解思路是解题的关键．