Question

我区的自然风光无限，最具特色的是青龙大峡谷（A）和文佛奇峰山（B），它们位于笔直的高速公路X同侧，AB=10km，A，B到直线X的距离分别为AE=10.5km和BD=4.5km．
（1）方案一：旅游开发公司计划在高速公路X旁修建一服务区C，并从服务区C向A、B两景区修建笔直公路运送游客．公司选择较节省的方案（如图1：点B关于直线X的对称点是B₁，连接AB₁交直线X于点C），C到A、B的距离之和S₁=AC+BC，求S₁．
（2）方案二：在A，B两景区之间有一条与高速公路X垂直的省级公路Y，且A到省级公路Y的距离AH=7km（如图2）．旅游开发公司打算在省级公路Y旁修建一服务区P，并从服务区P向A、B两景区修建笔直公路运送游客．由于地形条件的限制，P只能选择图2的位置，通过测量得PA=PB，P到A、B的距离之和S₂=AP+BP．请你通过计算比较S₁，S₂的大小．（参考数据：

2

≈1.414）

Answer 1

分析：（1）先根据勾股定理求出BF的长，再利用点B关于直线X的对称点是B₁，求证△AEC∽△CDB₁，利用相似三角形对应变成比例求出EC和CD，然后利用勾股定理分别求出AC、BC即可．
（2）过B点作BN⊥AE，交公路Y于M，交AE于N，利用轴对称-最短线路问题求出BM，设PH=x，根据勾股定理和已知条件AP=BP列出方程，求出PH，然后即可求得AP，从而可以比较比较S₁，S₂的大小．

解答：解：由笔直的高速公路X同侧，AB=10km，A，B到直线X的距离分别为AE=10.5km和BD=4.5km．知，BF=DF-BD=10.5-4.5=6，
∴AF=

AB2-BF2

=

100-36

=8，
∵点B关于直线X的对称点是B₁，
∴BB₁⊥CD，∴BD=DB₁，
∴

AE

DB1

=

EC

CD

，
∴

10.5

4.5

=

EC

8-EC

，
∴EC=5.6，
则CD=BD-EC=8-5.6=2.4，
AC=

AE2+EC2

=

10.52+5.62

=11.9，
BC=

CD2+BD2

=

2.42+4.52

=5.1，
S₁=AC+BC=11.9+5.1=17km，
答：（1）S₁=17km；

（2）过B点作BN⊥AE，交公路Y于M，交AE于N，
∵Y⊥X，∴AN=HM=10.5-4.5=6，
∵ED=8（已求出），AH=7（已知），
∴BM=BN-NM=ED-AH=8-7=1，
设PH=x，则PM=HM+PH=6+x，
在Rt△AHP中，AP²=AH²+PH²，
在Rt△PBM中，BP²=PM²+MB²，
又∵AP=BP，
∴7²+x²=（x+6）²+1²，
解得x=1，则AP=

AH2+PH2

=

49+1

=5

2

，
S2=2AP=10

2

=14.14．
∵10

2

＜17，
∴S₁＞S₂．

点评：此题主要考查学生对轴对称-最短线路问题和勾股定理的应用等知识点．步骤繁琐有一定的拔高难度，属于难题．