Question

将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠。

（1）如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点E的坐标为           ；
（2）如图②，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥轴交CD于点H，交BC于点G.求证：EH＝CH；
（3）在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式                           ；
（4）如图③，将矩形OABC变为正方形，OC＝10，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度。

Answer 1

（1）（0，5）；（2）∠1＝∠2.∵EG∥x轴，∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3.∴EH＝CH.
（3）（4）.

试题分析：
（1）  当点O落在D点时候，则CD=OC=10.在Rt△DBC时，
BD=所以AD=AB-BD=10-6=4.设OE=x。则ED=x。AE=8-x、
则。解得x=5.所以点Ｅ坐标（0，5）；
（2）证明：（如图②）
由题意可知∠1＝∠2.                                                             
∵EG∥x轴，∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3.
∴EH＝CH. 
（3） 
（4）解：（如图③）连接ET，

由题意可知，ED＝EO，ED⊥TC，DC＝OC＝10，
∵E是AO中点，∴AE＝EO.
∴AE＝ED.
在Rt△ATE和Rt△DTE中，

∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL）.
∴AT＝DT. 
设，则，，
在Rt△BTC中，,
即，
解得 ，即.
点评：本题难度中等，主要考查学生对折叠性质结合几何性质等知识点综合运用能力。为中考常考题型，要求学生牢固掌握解题技巧。