Question

已知，如图CD是⊙O的切线，C是切点，直径AB的延长线与CD相交于D，连接OC、BC．
（1）写出三个不同类型的结论；
（2）若BD=OB，求证：CA=CD．

Answer 1

（1）解：不同类型的结论有：
△BCD∽△CAD，
OC⊥CD，
△ABC是直角三角形，
OC²+CD²=OD²，
CD²=DB•DA，
∠ECD=∠OCA；

（2）证明：∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∵OB=BD，
∴BC是直角三角形OCD斜边上的中线，
∴BD=OB=BC=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠D=90-60=30°；
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=30°，
∴∠A=∠D，
即CA=AD．
分析：（1）CD是圆的切线可得出的有：OC⊥CD（切线的性质），CD²=DB•DA（切线长定理），△BCD∽△CAD（弦切角定理），AB是圆的直角可得出的有∠ACB=90°（圆周角定理）等．只要正确的都可以；
（2）由BD=OB可知，BC是直角三角形OCD底边上的中线，因此BC=OB=OD．因此三角形OBC就是个等边三角形，因此∠COB=60°，也就求出了∠D=30°，然后根据等边对等角，且外角为60°可在三角形OAC中求出∠A=30°，然后根据等角对等边即可得出CA=CD．
点评：本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等边三角形的性质等知识点的综合运用．