Question

【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式

n

m

的分子、分母都加上1，所得的分式

n+1

m+1

的值增大了还是减小了？”．
小明想到了“用

n

m

减去

n+1

m+1

判断差的正负性”的思路；
小亮的想法是“可以直接将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”．
两人的解题思路都正确．
【问题】
（1）小亮提出问题：已知m＞n＞1，分式

n

m

的分子、分母都减去1后所得的分式

n-1

m-1

的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题．
（2）小明进一步提出问题：已知m＞n＞a，分式

n

m

的分子、分母都减去a后，所得分式

n-a

m-a

的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题．

Answer 1

分析：（1）先把

n

m

-

n-1

m-1

进行化简，再根据m＞n＞1进行判断即可；
（2）先把

n

m

-

n-a

m-a

进行化简，再分m＞n＞a＞0，0＞m＞n＞a，a＜n＜0＜m，a＜0＜n＜m四种情况进行讨论．

解答：解：（1）

n

m

-

n-1

m-1

=

n(m-1)-m(n-1)

m(m-1)

=

m-n

m(m-1)

，
∵m＞n＞1，
∴m-n＞0，m（m-1）＞0，
∴

m-n

m(m-1)

＞0，即

n

m

＞

n-1

m-1

，
∴分式

n

m

的分子、分母都减去1后所得的分式

n-1

m-1

的值减小了；


（2）

n

m

-

n-a

m-a

=

n(m-a)-m(n-a)

m(m-a)

=

(m-n)a

m(m-a)

，
∵m＞n＞a，
∴当m＞n＞a＞0时，（m-n）a＞0，m（m-a）＞0，
∴

n

m

＞

n-a

m-a

；
当0＞m＞n＞a时，（m-n）a＜0，m（m-a）＜0，
∴

(m-n)a

m(m-a)

＞0，
∴

n

m

＞

n-a

m-a

；
当m＞0，n＜0时，a＜n＜0，
∴（m-n）a＜0，m（m-a）＞0，
∴

(m-n)a

m(m-a)

＜0，即

n

m

＜

n-a

m-a

；
当m＞n＞0，a＜0时，（m-n）a＜0，m（m-a）＞0，
∴

(m-n)a

m(m-a)

＜0，即

n

m

＜

n-a

m-a

．

点评：本题考查的是分式的加减法，在解答（2）时要注意进行分类讨论，不要漏解．