题目内容
（2012•盐田区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，| 3 |
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的
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（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．
分析：（1）连接PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G，求出P点的坐标，然后求得点A、B、C的坐标用待定系数法求得二次函数的解析式即可；
（2）因为△ABP和△CBP的面积是菱形ABCP面积的
，故过点A、C作BP的平行线，与抛物线的交点即是满足条件的点M．
（3）将原方程配方后得到抛物线的顶点Q（2，-
），然后作点P关于y轴的对称点P'，则P’（-2，
）．连接P'Q，则P'Q是最短总路径，根据勾股定理，可得P′Q=
．
（2）因为△ABP和△CBP的面积是菱形ABCP面积的
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（3）将原方程配方后得到抛物线的顶点Q（2，-
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解答：
解：（1）连接PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G，
∵⊙P与y轴相切于点A，
∴PA⊥y轴，
∵P（2，
），
∴OG=AP=2，PG=OA=
，
∴PB=PC=2，
∴BG=1，
∴CG=1，BC=2．
∴OB=1，OC=3．
∴A（0，
），B（1，0），C（3，0），
根据题意设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3），
则(0-1)(0-3)a=
，
解得：a=
．
故二次函数的解析式为：y=
x2-
x+
．
（2）∵点B（1，0），点P（2，
），
∴BP的解析式为：y=
x-
；
则过点A平行于BP的直线解析式为：y=
x+
，过点C平行于BP的直线解析式为：y=
x-3
l2，
从而可得①：
x+
=
x2-
x+
，
解得：x1=0，x2=7，
从而可得满足题意的点M的坐标为（0，
）、（7，8
）；
②
x-3
=
x2-
x+
，
解得：x1=3，x2=4，
从而可得满足题意的点M的坐标为：（3，0）、（4，
）
综上可得点M的坐标为（0，
），（3，0），（4，
），（7，8
）．
（3）∵y=
x2-
x+
=
(x2-4x+3)=
(x-2)2-
，
∴抛物线的顶点Q（2，-
）．
作点P关于y轴的对称点P'，则P'（-2，
）．
连接P'Q，则P'Q是最短总路径，根据勾股定理，可得P'Q=
．
．
解：（1）连接PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G，∵⊙P与y轴相切于点A，
∴PA⊥y轴，
∵P（2，
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∴OG=AP=2，PG=OA=
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∴PB=PC=2，
∴BG=1，
∴CG=1，BC=2．
∴OB=1，OC=3．
∴A（0，
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根据题意设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3），
则(0-1)(0-3)a=
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解得：a=
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故二次函数的解析式为：y=
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（2）∵点B（1，0），点P（2，
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∴BP的解析式为：y=
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则过点A平行于BP的直线解析式为：y=
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从而可得①：
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解得：x1=0，x2=7，
从而可得满足题意的点M的坐标为（0，
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解得：x1=3，x2=4，
从而可得满足题意的点M的坐标为：（3，0）、（4，
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综上可得点M的坐标为（0，
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（3）∵y=
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∴抛物线的顶点Q（2，-
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作点P关于y轴的对称点P'，则P'（-2，
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连接P'Q，则P'Q是最短总路径，根据勾股定理，可得P'Q=
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．点评：此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称最短路径、菱形的性质，难点在第二问，关键是利用平行线的性质得出点M的寻找办法，难度较大．
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