Question

附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①

 

；②

 

；③

 

．并对②，③的判断，选择一个给出证明．

Answer 1

分析：（1）在△ABM和△BCN中，
根据

BM=NC ∠ABM=∠BCN AB=BC

判定△ABM≌△BCN，
所以∠BAM=∠CBN，
则∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60度．
（2）②同样还是根据条件判定△ACM≌△BAN，
得到∠AMC=∠BNA，所以∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
即∠BQM=60°；
③同上，证明Rt△ABM≌Rt△BCN，
得到∠AMB=∠BNC，
所以，∠QBM+∠QMB=90°，∠BQM=90°，
即∠BQM≠60°．

解答：（1）证明：在△ABM和△BCN中，

BM=NC ∠ABM=∠BCN AB=BC

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．

（2）①是；②是；③否．
②的证明：如图，
在△ACM和△BAN中，

CM=AN ∠ACM=∠BAN=120° AC=AB

，
∴△ACM≌△BAN（SAS），
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°．
③的证明：如图，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，

BM=CN ∠ABC=∠C AB=BC

，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（SAS），
∴∠AMB=∠BNC．
又∵∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．

点评：主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．