题目内容

如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米．学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如图）．其中矩形EFGH的一边EF在边BC上．其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上．现计划在△AHG上种草，每平方米投资6元；在△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元．
（1）当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
（2）当矩形EFGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小，最小值为多少？

解：（1）设FG=x米，则AK=（80-x）米．
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴HG=120- $\text{[math]}$ ，
BE+FC=120-（120- $\text{[math]}$ x）= $\text{[math]}$ x，
∴ $\text{[math]}$ •（120- $\text{[math]}$ x）•（80-x）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x•x，
解得x=40．
∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等．

（2）设改造后的总投资为W元．
则W= $\text{[math]}$ •（120- $\text{[math]}$ x）•（80-x）•6+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x•x•10+x（120- $\text{[math]}$ x）•4
=6x²-240x+28800
=6（x-20）²+26400
∵二次项系数6＞0，
∴当x=20时，W_最小=26400．
答：当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元．
分析：（1）可利用相似分别表示出相应的三角形的底与高，让面积相等即可
（2）把相应的总投资用含x的代数式表示出后，求出二次函数的最值即可．
点评：本题考查三角形相似的应用以及二次函数的最值，需注意在做题过程中加以理解应用．