Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C（0，4）．作OB⊥AC于点B，动点D在边OA上，D（m，0）（0＜m＜4），过点D作DE⊥OA交折线OB-BA于点E．Rt△GHI的斜边HI在射线AC上，GI∥OA，GI=m，GI与x轴的距离为

m

2

．设△GHI与△OAB重叠部分图形的面积为S．
（1）求直线AC所对应的函数关系式．
（2）直接写出用m分别表示点G、H、I的坐标．
（3）当0＜m＜2时，求S与m之间的函数关系式．
（4）直接写出点E落在△GHI的边上时m的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）待定系数法把（4，0）、（0，4）代入函数关系式，可得直线AC所对应的函数关系式．
（2）分别用m表示点G、H、I的横坐标和纵坐标即可求解．
（3）当H、B重合时，y_H=y_B，可得

3

2

m=2，解得m=

4

3

．再分当0＜m≤

4

3

时；当

4

3

＜m＜2时；两种情况讨论可求S与m之间的函数关系式．
（4）分点E落在△GHI的GH边上，点E落在△GHI的HI边上两种情况讨论即可求解．

解答：解：（1）设直线AC所对应的函数关系式为y=kx+b．
把（4，0）、（0，4）代入得

4k+b=0 0+b=4

，
解得

k=-1 b=4.

．
故直线AC所对应的函数关系式为y=-x+4．

（2）点G的横坐标4-（m+

m

2

）=4-

3

2

m，纵坐标为

1

2

m，
故G(4-

3

2

m， 

1

2

m)，
点H的横坐标4-（m+

m

2

）=4-

3

2

m，纵坐标为m+

m

2

=

3

2

m，
故H(4-

3

2

m， 

3

2

m)，
点I的横坐标4-

1

2

m，纵坐标为

1

2

m，
故I(4-

1

2

m， 

1

2

m)．

（3）当H、B重合时，y_H=y_B，则

3

2

m=2，
解得m=

4

3

．
当0＜m≤

4

3

时，S=

1

2

m•m=

1

2

m2．
当

4

3

＜m＜2时，S=

1

2

m2-[2-(4-

3

2

m)]2=-

7

4

m2+6m-4．

（4）①点E落在△GHI的GH边上，
m=4-

3

2

m，解得m=

8

5

；
②点E落在△GHI的HI边上，
m+m=4，解得m=2；
m=4-

1

2

m，解得m=

8

3

；
即2≤m≤

8

3

．
故点E落在△GHI的边上时，m的取值范围为m=

8

5

或2≤m≤

8

3

．

点评：本题考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：点的坐标的求法，待定系数法求直线解析式，折叠问题及分类讨论的数学思想．