题目内容
某低碳节能产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡．
（1）求y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）设年产量为x万件时，所获毛利润为w万元，求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（毛利润=销售额-生产费用）．
（1）求y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）设年产量为x万件时，所获毛利润为w万元，求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（毛利润=销售额-生产费用）．
分析：（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可．
（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可．
解答：解：图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a=
，
故y与x之间的关系式为y=
x2．
图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z=kx+b，则
，
解得：
，
故z与x之间的关系式为z=-
x+30；
（2）年产量为x万件时，生产费用为
x2，销售额为：zx=（-
x+30）x=-
x2+30x，
则w=-
x2+30x-
x2=-
x2+30x=-
（x2-150x）=-
（x-75）2+1125，
当x=75时，获得毛利润最大，最大毛利润为1125万元．
答：当年产量为75万件时，获得毛利润最大，最大毛利润为1125万元．
设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a=
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故y与x之间的关系式为y=
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图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z=kx+b，则
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解得：
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故z与x之间的关系式为z=-
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（2）年产量为x万件时，生产费用为
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则w=-
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当x=75时，获得毛利润最大，最大毛利润为1125万元．
答：当年产量为75万件时，获得毛利润最大，最大毛利润为1125万元．
点评：本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求函数解析式，注意培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．
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