题目内容
已知:如图,直线交x轴于点B,交y轴于点C,点A为x轴正半轴上一点,AO=CO,△ABC的面积为12.
(1)求b的值;
(2)若点P是线段AB中垂线上的点,是否存在这样的点P,使△PBC成为直角三角形.若存在,试直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)点Q为线段AB上一个动点(点Q与点A、B不重合),QE∥AC,交BC于点E,以QE为边,在点B的异侧作正方形QEFG.设AQ=m,△ABC与正方形QEFG的重叠部分的面积为S,试求S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围.
(1)4;(2),,,;(3)
【解析】
试题分析:(1)先求得OB、OC的长,再由AO=BO可得点A的坐标,再根据三角形的面积公式求解;
(2)题目中没有明确直角,故要分情况讨论,再结合直角三角形的性质求解即可;
(3)设正方形QEFG与AC相交于点M,先求得,在Rt△AOC中,根据勾股定理可求得AC的长,由EQ∥AC可得,即可表示出的长,证得△QMA为等腰直角三角形,可得QM=,当时,正方形QEFG的边FG恰好与AC共线,此时,解得,再分当0<m≤、<m<6两种情况分析即可.
(1)由题意得:B(,0),C(0,b)
∴OB=,OC=b
∵AO=BO
∴A(b,0).
∴OA=b,AB=b+=
∵
∴
解得:b1=4,b2=-4(舍去)
∴b=4;
(2),,,;
(3)如图,设正方形QEFG与AC相交于点M.
∵
∴
在Rt△AOC中
∵EQ∥AC
∴
∴
∵EQ∥AC
∴∠AMQ=∠EQM=90°,∠MAQ=45°
∴△QMA为等腰直角三角形
∴QM=
当时,正方形QEFG的边FG恰好与AC共线
此时,解得
当0<m≤时,
当<m<6时,
∴S与m之间的函数关系式为.
考点:动点的综合题
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.