Question

画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接CF、DF．
（2）在所画图中，求证：△CDF为等腰直角三角形．

Answer 1

分析：（1）以点D为圆心，以任意长为半径画弧分别与OA、OB相交，再分别以这两点为圆心，以大于它们

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2

长度为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点作射线OP即可；分别以C、D为圆心，以大于

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2

CD长为半径画弧，在CD的两边画弧相交于两点，过这两点作直线EF即可；
（2）过点F作FM⊥OA于M，FN⊥OB于N，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CF=DF，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FM=FN，然后利用“HL”证明△CFM和△DFN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CFM=∠DFN，再求出∠CFD=90°，根据等腰直角三角形的判定证明即可．

解答：（1）解：∠AOB的平分线OP；线段CD的垂直平分线EF如图所示；

（2）证明：如图，过点F作DM⊥OA于M，FN⊥OB于N，
∵EF垂直平分CD，
∴CF=DF，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴FM=FN，
在△CFM和△DFN中，

CF=DF FM=FN

，
∴△CFM≌△DFN（HL），
∴∠CFM=∠DFN，
又∵∠AOB=90°，FM⊥OA，FN⊥OB，
∴∠CFD=∠MFN=360°-3×90°=90°，
∴△CDF为等腰直角三角形．

点评：本题考查了复杂作图，主要利用了角的平分线的作法，线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．