题目内容

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数,令,可得,我们就说是函数的零点.请根据零点的定义解决下列问题:

已知函数m为常数).

(1)当m=0时,求该函数的零点;

(2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点;

(3)设函数的两个零点分别为,且,此时函数图象与轴的交点分别为AB(点A在点B左侧),点M在直线上,当MA+MB最小时,求直线AM的函数解析式.

解:(1)当时,,    -------1分 

,即,解得, 

∴当时,该函数的零点为和-

(2)令,即,       

△=(-2m)2-4[-2(m+3)] =4m2+8m+24△=4(m+1)2+20                             

∵无论m为何值,4(m+1)2≥0,4(m+1)2+20>0, 即△>0                                    

∴无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根,

即该函数总有两个零点.        

(3)依题意有,   

=-,即=-

解得m=1.                                             

因此函数解析式为y=x2-2x-8,

y=0,解得x1=-2,x2=4,                       

A(-2,0),B(4,0),                        

作点B关于直线的对称点B´,连结AB´,  

AB´与直线的交点就是满足条件的M点.                 

易求得直线x轴、y轴的交点分别为C(10,0),D(0,-10),

连结CB´,则∠BCD=45°,∴BC=CB´=6,∠B´CD=∠BCD=45°,

∴∠BCB´=90°. 即(10,-6).                    ………7分

设直线AB´的解析式为,则

,解得.

∴直线AB´的解析式为

AM的解析式为.                

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