题目内容
使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数,令
,可得
,我们就说
是函数
的零点.请根据零点的定义解决下列问题:
已知函数(m为常数).
(1)当m=0时,求该函数的零点;
(2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点;
(3)设函数的两个零点分别为和
,且
,此时函数图象与
轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧),点M在直线
上,当MA+MB最小时,求直线AM的函数解析式.
解:(1)当时,
, -------1分
令,即
,解得
,
∴当时,该函数的零点为
和-
.
(2)令,即
,
△=(-2m)2-4[-2(m+3)] =4m2+8m+24△=4(m+1)2+20
∵无论m为何值,4(m+1)2≥0,4(m+1)2+20>0, 即△>0
∴无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根,
即该函数总有两个零点.
(3)依题意有,,
,
由得
=-
,即
=-
,
解得m=1.
因此函数解析式为y=x2-2x-8,
令y=0,解得x1=-2,x2=4,
∴A(-2,0),B(4,0),
作点B关于直线的对称点B´,连结AB´,
则AB´与直线的交点就是满足条件的M点.
易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C(10,0),D(0,-10),
连结CB´,则∠BCD=45°,∴BC=CB´=6,∠B´CD=∠BCD=45°,
∴∠BCB´=90°. 即B´(10,-6). ………7分
设直线AB´的解析式为,则
,解得
,
.
∴直线AB´的解析式为,
即AM的解析式为.
