Question

已知：如图，圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于点F，AB=BE，连接AC，且OD=3，AF=FB=

5

，求AC的长．

Answer 1

分析：由于DF⊥AB，根据垂径定理可得出弧AD=弧BD，即∠DCA=∠DAB，因此△ADC和△EDA相似，所以本题可用形似三角形来求解．那么根据相似三角形可得出关于AC、AE、AD、DE的比例关系式，已知了圆的半径和OF的长，因此可连接OA求出FO的长，进而可在直角△ADF中求出AD的长，同理可在直角△DFE中求出DE的长，而AE=4AF，由此可求出AC的长．

解答：解：连接OA，
∵DF过点O，AF=FB=

5

，
∴∠AFO=90°．
∴FO=

AO2-AF2

=

9-5

=2．
∴DF=DO+FO=5．
∴AD=

AF2+DF2

=

30

．
DE=

FE2+DF2

=

70

．
由垂径定理知

AD

=

DB

，
∴∠DCA=∠DAB．
∵∠ADC是△ADC与△EDA的公共角，
∴△ADC∽△EDA．
∴

AC

AE

=

AD

DE

，

AC

4 5

=

30

70

．
∴AC=

4 105

7

．

点评：本题主要考查了垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据垂径定理得出角相等进而得出三角形相似是解题的关键．