题目内容
如图 所示,抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A、B两点,交y轴于点C.
(1)求线段AC的长;
(2)求tan∠CBA的值;
(3)连接AC,试问在x轴左侧否存在点Q,使得以C、O、Q为顶点的三角形和△OAC相似?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:(1)令y=x2-4x+3=0,
解得x=1或3,
∴A点的坐标为(1,0),B点的坐标为(3,0),
令x=0得y=3,
∴C点的坐标为(0,3),
∴AC===;
(2)∵A点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,3),
∴OA=3,OC=3,
∴tan∠CBA===1;
(3)设Q点的坐标为(x,0),
∵Q点在x轴左侧否,
∴OQ=-x,
当△QOC∽△AOC时,
∴,
即:,
∴x=-3,
∴此时Q点的坐标为(-3,0);
当△CQO∽△ACO
∴,
即:
解得x=-9,
∴此时Q点的坐标为(-9,0)
∴在Y轴左侧否存在点Q(-3,0)和(-9,0),使得以C、O、Q为顶点的三角形和△OAC相似.
分析:(1)分别令x=0和y=0求得A点的坐标为(1,0),B点的坐标为(3,0),C点的坐标为(0,3),据此可以求得AC的长;
(2)线段OC的长除以线段OB的长即为tan∠CBA的值;
(3)设Q点的坐标为(x,0),利用以C、O、Q为顶点的三角形和△OAC相似即可得到有关x的方程,求得x的值即可求得Q点的坐标.
点评:本题考查了二次函数的综合知识,题目中还涉及到了相似三角形的判定及性质,是一道比较不错的综合性题目.
解得x=1或3,
∴A点的坐标为(1,0),B点的坐标为(3,0),
令x=0得y=3,
∴C点的坐标为(0,3),
∴AC===;
(2)∵A点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,3),
∴OA=3,OC=3,
∴tan∠CBA===1;
(3)设Q点的坐标为(x,0),
∵Q点在x轴左侧否,
∴OQ=-x,
当△QOC∽△AOC时,
∴,
即:,
∴x=-3,
∴此时Q点的坐标为(-3,0);
当△CQO∽△ACO
∴,
即:
解得x=-9,
∴此时Q点的坐标为(-9,0)
∴在Y轴左侧否存在点Q(-3,0)和(-9,0),使得以C、O、Q为顶点的三角形和△OAC相似.
分析:(1)分别令x=0和y=0求得A点的坐标为(1,0),B点的坐标为(3,0),C点的坐标为(0,3),据此可以求得AC的长;
(2)线段OC的长除以线段OB的长即为tan∠CBA的值;
(3)设Q点的坐标为(x,0),利用以C、O、Q为顶点的三角形和△OAC相似即可得到有关x的方程,求得x的值即可求得Q点的坐标.
点评:本题考查了二次函数的综合知识,题目中还涉及到了相似三角形的判定及性质,是一道比较不错的综合性题目.
练习册系列答案
相关题目
如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E,且△ABE是等腰直角三角形,AE=BE,则下列关系式中不能成立的是( )
A、b=0 | B、S△ABE=c2 | C、ac=-1 | D、a+c=0 |