题目内容
如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=30°。
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC。（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【解析】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键
（1）已知∠AOC=60°，
所以∠BOC=120°，
又OM平分∠BOC，∠COM=∠BOC=60°
所以∠CON=∠COM+90°=150°
（2）当直线ON与OA重合时，MN恰好与射线OC平行，
∴∠AOM=90°，
由题意得，10t=90°
∴t=9
∵∠ONM=60°
∴当∠COM=30°时，MN恰好与射线OC平行
∴∠NOM=270°
由题意得，10t=270°
∴t=27
延长NO，
∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=30°，
即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，
由题意得，10t=300°
∴t=30，
当NO平分∠AOC，
∴∠NOR=30°，
即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，
∴10t=120°，
∴t=12，
∴t=12或30；
（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，
所以∠AOM=90°－∠AON
∠NOC=60°－∠AON
所以∠AOM－∠NOC=（90°－∠AON）－（60°－∠AON）=30°，
所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM－∠NOC=30°
