题目内容

填表解题：
方程两根x₁，x₂ x₁+x₂= x₁x₂=
x²+2x+1=0
x²-3x-4=0
x²+4x-7=0
上表你能猜想若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0（a不等0）的两根则x₁+x₂=，x₁x₂₌
利用你的猜想解下列问题：
（1）若x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的两根求，x₁²+x₂²和（x₁+2）（x₂+2）的值．
（2）已知2+ $数学公式$ 是方程x²-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值．

解：表中从左至右为：x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2，x₁•x₂=1；
x₁=4，x₂=-1，x₁+x₂=-3，x₁•x₂=4；
x₁=-2+ $\text{[math]}$ ，x₂=-2- $\text{[math]}$ ，x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-7；
故答案为- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（1）∵x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=2²-2×（-3）=4+6=10；
（x₁+2）（x₂+2）=x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4=-3+4+4=5；
（3）设方程的另一个根为x₂，
∵2+ $\text{[math]}$ +x₂=4，
∴x₂=2- $\text{[math]}$ ；
由∵（2+ $\text{[math]}$ ）•x₂=c，
∴c=（2+ $\text{[math]}$ ）（2- $\text{[math]}$ ）=4-3=1，
所以方程的另一个根为2- $\text{[math]}$ ，c的值为1．
分析：利用因式分解法和求根公式解方程x²+2x+1=0，x²-3x-4=0，x²+4x-7=0，然后填表，根据表中的数据猜想若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0（a不等0）的两根则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂₌ $\text{[math]}$ ；
（1）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，然后变形x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，（x₁+2）（x₂+2）=x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4，再把x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3整体代入计算即可；
（2）设方程的另一个根为x₂，根据根与系数的关系得到2+ $\text{[math]}$ +x₂=4，（2+ $\text{[math]}$ ）•x₂=c，先求出x₂，然后计算c的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ．