Question

（2012•安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab=n）．如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．
（1）计算以下各对数的值：log₂4=

2

，log₂16=

4

，log₂64=

6

．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log₂4、log₂16、log₂64之间又满足怎样的关系式；
（3）猜想一般性的结论：log_aM+log_aN=

log_a（MN）

（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：a^m•aⁿ=a^m+n以及对数的含义证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根据材料叙述，结合2²=4，2⁴=16，2⁶=64即可得出答案；
（2）根据（1）的答案可得出log₂4、log₂16、log₂64之间满足的关系式；
（3）设log_aM=b₁，log_aN=b₂，则a^b₁=M，a^b₂=N，分别表示出MN及b₁+b₂的值，即可得出猜想．

解答：解：（1）log₂4=2，log₂16=4，log₂64=6；

（2）log₂4+log₂16=log₂64；

（3）猜想log_aM+log_aN=log_a（MN）．
证明：设log_aM=b₁，log_aN=b₂，则a^b₁=M，a^b₂=N，
故可得MN=a^b₁•a^b₂=a^b₁+b₂，b₁+b₂=log_a（MN），
即log_aM+log_aN=log_a（MN）．

点评：本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．