Question

（1）如图1,在等边△ABC中,点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C）,联结AM,以AM为边作等边△AMN,联结CN．求证：∠ABC=∠ACN．

【类比探究】
（2）如图2,在等边△ABC中,点M是边BC延长线上的任意一点（不含端点C）,其它条件不变,（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】
（3）如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C）,联结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC．联结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由．

Answer 1

证明见解析.

解析试题分析：（1）先证△BAM≌△CAN，再由全等三角形性质得到结论；
（2）先证△BAM≌△CAN，再由全等三角形性质得到结论；
（3）先证△ABC∽△AMN,再证△BAM∽△CAN,由相似三角形性质得到结论。
试题解析：（1）∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM≌△CAN（SAS）,
∴∠ABC=∠ACN；
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．
理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,
∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM≌△CAN（SAS）,
∴∠ABC=∠ACN；
（3）∠ABC=∠ACN．
理由如下：
∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,
∴底角∠BAC=∠MAN,
∴△ABC∽△AMN,
∴ ,
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM∽△CAN,
∴∠ABC=∠ACN．
考点：三角形的全等与相似.