Question

如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角上全等的四个三角形(阴影部分)剪掉，得一四边形A₁B₁C₁D₁．试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解　　因为在正方形ABCD中， 　　AB＝BC＝CD＝DA＝1， 　　∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝， 　　AA1＝BB1＝CC1＝DD1， 　　所以　　A1B＝B1C＝C1D＝D1A， 　　△AA1D1≌△BB1A1≌CC1B1≌DD1C1， 　　从而　　D1A1＝A1B1＝B1C1＝C1D1， 　　∠AD1A1＝∠BA1B1＝∠CB1C1＝∠DC1D1， 　　∠AA1D1＋∠BA1B1＝， 　　即　　∠D1A1B1＝， 　　所以四边形A1B1C1D1为正方形． 　　设AA1＝x．则AD1＝1－x，因为正方形A1B1C1D1的面积为，所以△AA1D1的面积为，得 　　x(1－x)＝， 　　整理得　　9x2－9x＋2＝0， 　　解得　　x1＝，x2＝． 　　当AA1＝时，AD1＝； 　　当AA1＝时，AD1＝． 　　所以当AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝或时，剪得的四边形A1B1C1D1仍为正方形，且面积是原面积的． 　　分析　　要使四边形A1B1C1D1是正方形，则必需有△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1从而可得AD1＝A1B．设AA1为x，则AD1为1－x．因为正方形A1B1C1D1的面积为，所以△AA1D1的面积为．利用面积公式求出x，从而解决问题．