Question

如图，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C，AE平分∠BAC，EF⊥AB，垂足为F，∠D=∠CAB．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若sinD=

4

5

，AD=6，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）要证AD是⊙O的切线，只要证明∠DAB=90°即可．
（2）根据三角函数的知识经过转换即可得出．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=∠CAB，∠B=∠B，
∴∠DAB=90°，
∴AD为⊙O的切线．

（2）解：∵sinD=

4

5

，AD=6，
∴AB=8，DB=10，
∵AB是⊙O的直径，AE平分∠BAC，EF⊥AB，
∴CE=FE，EF∥DA
∴∠FEB=∠D，
∵∠D=∠CAB，
∴sin∠FEB=sin∠CAB=

4

5

∴BC=sin∠CAB×AB=

4

5

×8=6.4，cos∠FEB=

3

5

，
∴EF：EB=3：5，
∴CE：BE=3：5，
∴

CE

BC

=

3

8

，
∴CE=BC×

CE

BC

=6.4×

3

8

=2.4．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．