题目内容
【题目】如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)当t=10时,AEFD是菱形;(3)当t=时△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);
当t=时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°),理由见解析.
【解析】试题分析:(1)利用t表示出CD以及AE的长,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性质求得DF的长,即可证明;
(2)易证四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,据此即可列方程求得t的值;
(3)分两种情况讨论即可求解.
【解答】(1)证明:∵直角△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°.
∵CD=4t,AE=2t,
又∵在直角△CDF中,∠C=30°,
∴DF=CD=2t,
∴DF=AE;
解:(2)∵DF∥AB,DF=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形,
当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,
即60﹣4t=2t,
解得:t=10,
即当t=10时,AEFD是菱形;
(3)当t=时△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);
当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).理由如下:
当∠EDF=90°时,DE∥BC.
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t,
∴DF=2t=AE,
∴AD=4t,
∴4t+4t=60,
∴t=时,∠EDF=90°.
当∠DEF=90°时,DE⊥EF,
∵四边形AEFD是平行四边形,
∴AD∥EF,
∴DE⊥AD,
∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°,
∵∠A=60°,
∴∠DEA=30°,
∴AD=AE,
AD=AC﹣CD=60﹣4t,AE=DF=CD=2t,
∴60﹣4t=t,
解得t=12.
综上所述,当t=时△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).