Question

（2013•无锡）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为

7

2

．

Answer 1

分析：①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8-a，得出D（（8-a，6+a），由勾股定理得：CD²=（8-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-8a+100=8（a-

1

2

）²+98，求出即可．

解答：解：有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=

62+82

=10
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中

∠BND=∠AMC ∠DBN=∠CAM BD=AC

∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=8-a，
D（（8-a，6+a），
由勾股定理得：CD²=（8-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-8a+100=8（a-

1

2

）²+98，
当a=

1

2

时，CD有最小值，是

98

∵

98

＜10，
∴CD的最小值是

98

=7

2

．
故答案为：7

2

．

点评：本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．