题目内容

(2006•临沂)如图1,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)如图2,若P点为抛物线上不同于A的一点,连接PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为S、R.
①求证:PB=PS;
②判断△SBR的形状;
③试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似?若存在,请找出M点的位置;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据B点的坐标以及矩形的面积可以求出矩形的四个顶点的坐标,根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式;
(2)①过点B作BN⊥PS,垂足为N,可以设P的坐标是(a,a2+1),根据勾股定理就可以用a表示出PB=PS的长,由此可以证明;
②判断△SBR的形状,根据①同理可知BQ=QR,根据等边对等角就可以证明∠SBR=90度,则△SBR为直角三角形;
③若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似,有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况,根据相似三角形的对应边的比相等就可以求出.
解答:解:(1)方法一:
∵B点坐标为(0.2),
∴OB=2,
∵矩形CDEF面积为8,
∴CF=4.
∴C点坐标为(-2,2).F点坐标为(2,2).
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.
其过三点A(0,1),C(-2.2),F(2,2).

解这个方程组,得a=,b=0,c=1,
∴此抛物线的解析式为y=x2+1.(3分)
方法二:
∵B点坐标为(0.2),
∴OB=2,
∵矩形CDEF面积为8,
∴CF=4.
∴C点坐标为(-2,2),
根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c.
其过点A(0,1)和C(-2.2)

解这个方程组,得a=,c=1
此抛物线解析式为y=x2+1.

(2)①证明:如图(2)过点B作BN⊥PS,垂足为N.
∵P点在抛物线y=x2+1上.可设P点坐标为(a,a2+1).
∴PS=a2+1,OB=NS=2,BN=-a.
∴PN=PS-NS=
在Rt△PNB中.
PB2=PN2+BN2=(a2-1)2+a2=(a2+1)2
∴PB=PS=.(6分)
②根据①同理可知BQ=QR.
∴∠1=∠2,
又∵∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
同理∠SBP=∠5(7分)
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90度.
∴△SBR为直角三角形.(8分)
③方法一:如图(3)作QN⊥PS,
设PS=b,QR=c,
∵由①知PS=PB=b.QR=QB=c,PQ=b+c.PN=b-c.
∴QN2=SR2=(b+c)2-(b-c)2
.(9分)
假设存在点M.且MS=x,则MR=
若使△PSM∽△MRQ,
则有
即x2-2x+bc=0

∴SR=2
∴M为SR的中点.(11分)
若使△PSM∽△QRM,
则有


∴M点即为原点O.
综上所述,当点M为SR的中点时.△PSM∽△MRQ;
当点M为原点时,△PSM∽△MRQ.(13分)
方法二:
若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似,
∵∠PSM=∠MRQ=90°,
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况.
当△PSM∽△MRQ时.∠SPM=∠RMQ,∠SMP=∠RQM.
由直角三角形两锐角互余性质.知∠PMS+∠QMR=90度.
∴∠PMQ=90度.(9分)
取PQ中点为T.连接MT.则MT=PQ=(QR+PS).(10分)
∴MN为直角梯形SRQP的中位线,
∴点M为SR的中点(11分)
=1
当△PSM∽△QRM时,
∴QB=BP
∵PS∥OB∥QR
∴点M为原点O.
综上所述,当点M为SR的中点时,△PSM∽△MRQ;
当点M为原点时,△PSM∽△QRM.(13分)
点评:本题主要考查了待定系数法求函数解析式,以及相似三角形的对应边的比相等.
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