Question

设y=

ax+b

cx+d

，a、b、c、d都是有理数，x是无理数．求证：
（1）当bc=ad时，y是有理数；
（2）当bc≠ad时，y是无理数．设△ABC的三边分别是a、b、c，且a²+c²+8b²-4ab-4bc=0，试求△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）根据y的表达式可得c、d不能同时为0，从而分三种情况讨论，①若c=0，d≠0，②若d=0，c≠0，③若c≠0，d≠0，这样根据bc=ad的条件，可将每种情况下y的值求出来，继而可证得结论；
（2）运用反证法，假设bc=ad时，y为有理数，则（cx+d）y=ax+b，即（cy-a）x+（dy-b）=0，这样根据题意可判断出cy-a=0，dy-b=0，进而能得出bc≠ad的结论，得出矛盾．

解答：证明：（1）c、d不能同时为0，否则y无意义，
①若c=0，由bc=ad，d≠0，可得a=0，此时y=

b

d

；
②若d=0，则c≠0，由bc=ad，可得b=0，此时y=

ax

cx

=

a

c

为有理数，
③若c≠0，d≠0，由bc=ad得a=

bc

d

，代入y得，y=

b

d

为有理数．
综上三种情况可得当bc=ad时，y是有理数；

（2）①假设bc≠ad时，y为有理数，则（cx+d）y=ax+b，即（cy-a）x+（dy-b）=0，
因cy-a，dy-b为有理数，x为无理数，
故有cy-a=0，dy-b=0，
从而bc=cdy=（cy）d=ad，这与已知条件bc≠ad矛盾，从而y不是有理数，y一定是无理数．
②∵a²+c²+8b²-4ab-4bc=0，可得（a-2b）²+（c-2b）²=0，
从而可得a=2b=c，
故可判断△ABC是等腰三角形．

点评：本题考查有理数及无理数的概念及运算，难度较大，证明本题需要我们熟练掌握有理数与无理数的运算所得结果的特点，另外要求我们掌握分类讨论思想在解题中的运用．