Question

如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE．
（1）①求证：BG=DE；②图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
（2）若正方形ABCD的边长是1，延长BG恰好交于DE的中点M，求DC+CE的值．

Answer 1

解：（1）①∵BC=DC，
∠BCG=∠DCE=90°，
CG=CE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），（3分）
∴BG=DE；

②存在，△BCG≌△DCE，①中已证明，且△BCG和△DCE有共同顶点C，则△DCE沿C点旋转向左90°与△BCG重合；

（2）连接BD．
BD=；
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE；
又∵∠CDE+∠MEC=90°，
∴∠CBG+∠MEC=90°，
∴BM⊥DE，
又∵M是DE的中点，
∴BE=BD=，
∴DC+CE=BC+CE=．
分析：（1）①根据已知，利用SAS判定△BCG≌△DCE，全等三角形的对应边相等，所以BG=DE；②存在，△BCG和△DCE可以通过旋转重合．求证△BCG≌△DCE即可；
（2）因为CD=BC，所以可以将问题求DC+CE的值转化为求BC+CE的值．连接BD．利用勾股定理求正方形ABCD的对角线BD=，利用①中的全等三角形△BCG≌△DCE的对应角相等∠CBG=∠CDE；又有直角三角形的两个锐角互余知∠CDE+∠MEC=90°，利用等量代换求得∠CBG+∠MEC=90°，即BM⊥DE；然后由等腰三角形的性质解答即可．
点评：本题考查了全等三角形判定与性质、正方形的性质（各边相等且各内角为90°）、旋转的性质及勾股定理的应用．本题中求证△BCG≌△DCE是解题的关键，另外，作辅助线BD，将问题求DC+CE的值转化为求BC+CE的值，降低了题的难度与梯度．