Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，∠ABC=60°．
（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；
（3）若动点E从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F从B点出发沿BC方向运动，设AE=x、BF=y，连接EF，求当△BEF为直角三角形时，写出x、y的关系式，（不要求写出x的取值范围）．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，
又弦BC=4cm，∠ABC=60°，∴∠A=30°，
则⊙O的直径AB=2BC=8cm；

（2）根据题意画出图形，如图所示：
当BD=BC=4cm时，CD与圆O的相切，
证明：∵∠ABC=60°，OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，∴CB=OB=BD，
∴∠OCD=90°，
∴CD是圆O的切线；

（3）当∠EFB=90°时，画出图形得：
由AB为圆O的直径得到∠C=90°，又∠B=60°，
∴∠A=30°，则AB=2BC=8，
∵∠EFB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△EFB∽△ACB，
∴=，即=，
∴y=-x+4；
当∠FEB=90°时，画出图形得：
由∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，
∴△FEB∽△ACB，
∴=，即=，
∴y=-2x+16．
分析：（1）由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠C=90°，又∠ABC=60°得到∠A=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由BC求出AB的长，即为圆O的直径；
（2）根据题意画出图形，当DB=OB时，CD与圆O相切，理由为：由OC=OB得到△OCB为等腰三角形，又∠ABC为60°，故△OCB为等边三角形，进而得到CB=OB=OC，而OB=BD，故CB=OB=BD，根据一边上的中线等于这边的一半，得到这边所对的角为直角，即∠OCD为直角，故DC与圆O相切；
（3）分∠EFB为直角和∠FEB为直角两种情况考虑，由AB和BC的长，以及设出的AE=x，BF=y，利用三角形的相似即可表示出各自的y与x的函数关系式．
点评：此题综合考查了切线的性质，圆周角定理及相似三角形的判断与性质．其中证明切线的方法有：1、有点连接此点与半径，证明夹角为直角；2、无点作垂线，证明垂线段等于半径．动点问题注意审清题意，利用分类讨论及数形结合的数学思想解决问题．