题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.

(1)求B的坐标;

(2)当点P运动到点(t,0)时,试用含t的式子表示点D的坐标;

(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在,请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可)

【答案】(1)点B的坐标是(2,2).(2)点D的坐标为(,2+t).(3)存在. 点P的坐标分别为P1,0),P2(-,0),P3(-,0),P4,0).

【解析】

试题分析:(1)过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.依题意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得点B的坐标.设直线AB的解析式是y=kx+b,把已知坐标代入可求解.

(2)由△ABD由△AOP旋转得到,△ABD≌△AOP,AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等边三角形,利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函数求出BG=BDcos60°,DG=BDsin60°.然后求出OH,DH,然后求出点D的坐标.

(3)分三种情况进行讨论:

①当P在x轴正半轴上时,即t>0时;

②当P在x轴负半轴,但D在x轴上方时;即-<t≤0时

③当P在x轴负半轴,D在x轴下方时,即t≤-时.

综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值.

试题解析:(1)如图1,

过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.

由已知得:BF=OE=2,

∴OF=

∴点B的坐标是(2,2).

设直线AB的解析式是y=kx+b(k≠0),

则有

∴直线AB的解析式是y=-x+4,

(2)∵△ABD由△AOP旋转得到,

∴△ABD≌△AOP.

∴AP=AD,∠DAB=∠PAO.

∴∠DAP=∠BAO=60°.

∴△ADP是等边三角形.

如图2,

过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.

在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,

∴BG=BDcos60°=.DG=BDsin60°=t.

∴OH=EG=,DH=2+t.

∴点D的坐标为(,2+t).

(3)存在.

假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于

设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:

①当t>0时,如答图2,BD=OP=t,DG=t,

∴DH=2+t.

∵△OPD的面积等于

t(2+t)=

∴t1=,t2=舍去).

∴点P1的坐标为(,0).

②∵当D在x轴上时,如图3,

根据锐角三角函数求出BD=OP=

∴当-<t≤0时,如答图1,BD=OP=-t,DG=-t,

∴GH=BF=2-(-t)=2+t.

∵△OPD的面积等于

∴-t(2-t)=

∴t1=-,t2=-

∴点P2的坐标为(-,0),点P3的坐标为(-,0).

③当t≤-时,BD=OP=-t,DG=-t,

∴DH=-t-2.

∵△OPD的面积等于

(-t)(-2-t)=

∴t1=,t2=(舍去).

∴点P4的坐标为(,0).

综上所述,点P的坐标分别为P1,0),P2(-,0),P3(-,0),P4,0).

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网