题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1)求B的坐标;
(2)当点P运动到点(t,0)时,试用含t的式子表示点D的坐标;
(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在,请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可)
【答案】(1)点B的坐标是(2,2).(2)点D的坐标为(,2+t).(3)存在. 点P的坐标分别为P1(,0),P2(-,0),P3(-,0),P4(,0).
【解析】
试题分析:(1)过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.依题意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得点B的坐标.设直线AB的解析式是y=kx+b,把已知坐标代入可求解.
(2)由△ABD由△AOP旋转得到,△ABD≌△AOP,AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等边三角形,利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函数求出BG=BDcos60°,DG=BDsin60°.然后求出OH,DH,然后求出点D的坐标.
(3)分三种情况进行讨论:
①当P在x轴正半轴上时,即t>0时;
②当P在x轴负半轴,但D在x轴上方时;即-<t≤0时
③当P在x轴负半轴,D在x轴下方时,即t≤-时.
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值.
试题解析:(1)如图1,
过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.
由已知得:BF=OE=2,
∴OF=,
∴点B的坐标是(2,2).
设直线AB的解析式是y=kx+b(k≠0),
则有,
∴.
∴直线AB的解析式是y=-x+4,
(2)∵△ABD由△AOP旋转得到,
∴△ABD≌△AOP.
∴AP=AD,∠DAB=∠PAO.
∴∠DAP=∠BAO=60°.
∴△ADP是等边三角形.
如图2,
过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,
∴BG=BDcos60°=.DG=BDsin60°=t.
∴OH=EG=,DH=2+t.
∴点D的坐标为(,2+t).
(3)存在.
假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于.
设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:
①当t>0时,如答图2,BD=OP=t,DG=t,
∴DH=2+t.
∵△OPD的面积等于,
∴t(2+t)=,
∴t1=,t2=(舍去).
∴点P1的坐标为(,0).
②∵当D在x轴上时,如图3,
根据锐角三角函数求出BD=OP=,
∴当-<t≤0时,如答图1,BD=OP=-t,DG=-t,
∴GH=BF=2-(-t)=2+t.
∵△OPD的面积等于
∴-t(2-t)=,
∴t1=-,t2=-
∴点P2的坐标为(-,0),点P3的坐标为(-,0).
③当t≤-时,BD=OP=-t,DG=-t,
∴DH=-t-2.
∵△OPD的面积等于,
∴(-t)(-2-t)=,
∴t1=,t2=(舍去).
∴点P4的坐标为(,0).
综上所述,点P的坐标分别为P1(,0),P2(-,0),P3(-,0),P4(,0).