题目内容
【题目】如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=2，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设AD=x，y=cot∠CFE， 
（1）求证：△DEK∽△DFB；
（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结CD，当 
= 
时，求x的值．
【答案】
（1）证明：如图1，
由折叠可得：∠EDF=∠C=90°，∠DFE=∠CFE．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵DK⊥AB，
∴∠ADK=∠BDK=90°，
∴∠AKD=45°，∠EDF=∠KDB=90°，
∴∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB，
∴△DEK∽△DFB；
（2）解：∵∠A=∠AKD=45°，
∴DK=DA=x．
∵AB=2，
∴DB=2﹣x．
∵△DFB∽△DEK，
∴ 
= 
，
∴y=cot∠CFE=cot∠DFE= = = 
．
当点F在点B处时，
DB=BC=ABsinA=2× 
= 
，AD=AB﹣AD=2﹣ ；
当点E在点A处时，
AD=AC=ABcosA=2× = ；
∴该函数的解析式为y= ，定义域为2﹣ ＜x＜
（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，
∵∠ECF=∠EDF=90°，
∴OC=OD= 
EF．
设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH= CD．
∵ 
= 
，∴sin∠HOC= 
= ，
∴∠HOC=60°
① 若点K在线段AC上，如图2，
∵CO= EF=OF，
∴∠OCF=∠OFC= ∠HOC=30°，
∴y=cot30°= 
，
∴ = ，
解得：x= ﹣1；
②若点K在线段AC的延长线上，如图3，
∵OC=OF，∠FOC=60°，
∴△OFC是等边三角形，
∴∠OFC=60°，
∴y=cot60°= 
，
∴ = ，
解得：x=3﹣ ；
综上所述：x的值为 ﹣1或3﹣
【解析】（1）要证△DEK∽△DFB，只需证到∠EKD=∠FBD，∠EDK=∠FDB即可；（2）易得DK=DA=x，DB=2﹣x，由△DFB∽△DEK可得到 = ，从而可得y=cot∠CFE=cot∠DFE= = = ；然后只需先求出在两个临界位置（点F在点B处、点E在点A处）下的x值，就可得到该函数的定义域；（3）取线段EF的中点O，连接OC、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=OD= EF．设EF与CD交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH=DH= CD．由 = 可得tan∠HOC= = ，从而得到∠HOC=60°．①若点K在线段AC上，如图2，由∠HOC=60°可求得∠OFC=30°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值；②若点K在线段AC的延长线上，如图3，由∠HOC=60°可求得∠OFC=60°，由此可得到y的值，再把y的值代入函数解析式就可求出x的值．
