Question

一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．
（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（2）求出月销售利润z（万元）（利润=售价-成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．

Answer 1

解：（1）由题意得：
y=20+2（40-x）
=-2x+100．
∴y与x的函数关系式为y=-2x+100；

（2）z=（x-18）y
=（x-18）（-2x+100）
=-2x²+136x-1800，
∴z与x的函数关系式为z=-2x²+136x-1800；

（3）令z=480，得480=-2x²+136x-1800，
整理得x²-68x+1140=0，
解得x₁=30，x₂=38，
将二次函数解析式变形为z=-2（x-34）²+512画出大致图象如图，
由图象可知，要使月销售利润不低于480万元，产品的销售单价应在30元到38元之间（即30≤x≤38）．
分析：（1）根据“按定价40元出售，每月可销售20万件”及“经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件”可列出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）由月销售利润=（销售单价x-成本单价18）•月销售量y（万件），列出函数关系式；
（3）求月销售利润z=480万元时，销售单价x的值，就可确定范围了．
点评：本题考查用列一次函数、二次函数及解决实际问题的能力．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．