题目内容
已知两个关于x的二次函数y1与y2，y1=a（x-k）2+2（k＞0），y1+y2=x2+6x+12；当x=k时，y2=17；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x=-1．（1）求k的值；
（2）求函数y1，y2的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由．
分析：（1）根据题意把y1代入y1+y2=x2+6x+12中即可求出y2，又当x=k时，y2=17，代入函数解析式，求出k的值；
（2）根据k的值及y2的图象的对称轴求出a的值，即可求出二次函数的解析式；
（3）根据题意画出各函数的图象，便可直接解答；
（2）根据k的值及y2的图象的对称轴求出a的值，即可求出二次函数的解析式；
（3）根据题意画出各函数的图象，便可直接解答；
解答：
解：（1）由y1=a（x-k）2+2，y1+y2=x2+6x+12，
∴y2=（y1+y2）-y1，
=x2+6x+12-a（x-k）2-2，
=x2+6x+10-a（x-k）2，
又∵当x=k时，y2=17，
即k2+6k+10=17，
∴k1=1，或k2=-7（舍去），
故k的值为1；
（2）由k=1，得y2=x2+6x+12-a（x-1）2-2=（1-a）x2+（2a+6）x+10-a，
∴函数y2的图象的对称轴为x=-
，
∴-
=-1，
∴a=-1，
所以y1=-x2+2x+1，y2=2x2+4x+11；
（3）由y1=-（x-1）2+2，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，
顶点坐标为（1，2）；
由y2=2x2+4x+11=2（x+1）2+9，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为（-1，9）；
故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点．
解：（1）由y1=a（x-k）2+2，y1+y2=x2+6x+12，∴y2=（y1+y2）-y1，
=x2+6x+12-a（x-k）2-2，
=x2+6x+10-a（x-k）2，
又∵当x=k时，y2=17，
即k2+6k+10=17，
∴k1=1，或k2=-7（舍去），
故k的值为1；
（2）由k=1，得y2=x2+6x+12-a（x-1）2-2=（1-a）x2+（2a+6）x+10-a，
∴函数y2的图象的对称轴为x=-
| 2a+6 |
| 2(1-a) |
∴-
| 2a+6 |
| 2(1-a) |
∴a=-1，
所以y1=-x2+2x+1，y2=2x2+4x+11；
（3）由y1=-（x-1）2+2，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，
顶点坐标为（1，2）；
由y2=2x2+4x+11=2（x+1）2+9，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为（-1，9）；
故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点．
点评：本题是一道函数压轴题，主要考查了二次函数的性质、一元二次方程等知识，难度比较恰当解第3小题时要学会画图，比较直观的看出它们是否有交点，再予以说明．
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