Question

如图，已知半圆O的直径为AB，以AB一边作正方形ABCD，M是半圆上一点，且CM=CB，连接CO交半圆O于点N．
（1）试判断直线CM与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当关系式MC²=BO•BE成立时，求∠BCE的度数；
（3）若正方形边长为4，延长CM交BA延长线于点E，试计算出线段EM的长．

Answer 1

解：（1）直线CM与圆O相切．
理由如下：连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC=90°，
∵CM=CB，OM=OB，OC=OC，
∴△OCM≌△OCB，
∴∠OMC=∠OBC=90°，
即OM⊥CM，
∵M是半圆上一点，
∴直线CM与圆O相切；

（2）∵CM=CB，MC²=BO•BE，
∴CB²=BO•BE．
∴BC：BO=BE：BC．
∵∠CBE=∠OBC=90°，
∴△BCE∽△BOC．
∴∠BCE=∠BOC．
∵∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCE+∠BCO=90°．
∵CM=CB，
∴C在BM的中垂线上．
∵OM=OB，
∴O在BM的中垂线上．
∴OC垂直平分BM．
∴∠BCO=∠MCO．
∴∠BCE=2∠BCO．
∵∠BCE+∠E=90°，
∴∠BCE=60°．

（3）连接AM和BM，
因为M在圆上，AB是直径，
所以AM⊥BM，
因为四边形OBCM是轴对称图形，
所以BM⊥OC，所以AM∥OC．
因为OB=2，CB=4，
所以OC=2，BM=2OB×CB÷OC=．
因为AB=4，
所以AM=，
AM：OC=EM：EC，AM：OC=EM：（EM+MC），
即AM：OC=EM：（EM+BC），
解得EM=．
分析：（1）直线CM与圆O相切．只要连接OM，证明∠OMC=90°即可．
（2）根据已知及相似三角形的判定方法可得到，△BCE∽△BOC，得出∠BCO=∠E，C在BM的中垂线上，有∠BCO=∠MCO，又∠BCE+∠E=90°，可以得出∠BCE的度数；
（3）先证明AM∥OC，再根据平行线分线段成比例即可计算出线段EM的长．
点评：本题主要考查的是切线的判定定理，相似三角形的判定定理以及正方形的性质，难度中上．