题目内容
问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手，通过观察、分析，最后归纳出结论：
探究一：以△ABC的三个顶点和它内部的一个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
如图（1），显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
在探究一的基础上，我们可看作在图（1）△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图（1）分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在△PAC内部，如图（2）；另一种情况，点Q在图（1）分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在P上，如图（3）；显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．
探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点，共6个点为顶点可把△ABC分割成
探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点可把△ABC分割成
探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成
问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点为顶点，可把△ABC分割成
实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的m个点，共（m+8）个点为顶点，可把八边形分割成2013个互不重叠的小三角形吗？若行，求出m的值；若不行，请说明理由．
问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手，通过观察、分析，最后归纳出结论：
探究一：以△ABC的三个顶点和它内部的一个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
如图（1），显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．
探究二：以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？
在探究一的基础上，我们可看作在图（1）△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图（1）分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q在△PAC内部，如图（2）；另一种情况，点Q在图（1）分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q在P上，如图（3）；显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．
探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点，共6个点为顶点可把△ABC分割成
7
7
个互不重叠的小三角形．探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点可把△ABC分割成
3+2（m-1）或2m+1
3+2（m-1）或2m+1
个互不重叠的小三角形．探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成
4+2（m-1）或2m+2
4+2（m-1）或2m+2
个互不重叠的小三角形．问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点为顶点，可把△ABC分割成
n+2（m-1）或2m+n-
n+2（m-1）或2m+n-
个互不重叠的小三角形．实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的m个点，共（m+8）个点为顶点，可把八边形分割成2013个互不重叠的小三角形吗？若行，求出m的值；若不行，请说明理由．
分析：探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可；
探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可；
探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解；
问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解；
实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解．
探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可；
探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解；
问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解；
实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解．
解答：
解：探究三：如图，三角形内部的三点共线与不共线时都分成了7部分，
故答案为：7；分割示意图（答案不唯一）
探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（1-1），
三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2-1），
三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3-1），
…，
所以，三角形内部有m个点时，3+2（m-1）或2m+1；
探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m个点，
则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m-1）或2m+2；
问题解决：n+2（m-1）或2m+n-2；
实际应用：把n=8，m=2013代入上述代数式，得
2m+n-2
=2×2013+8-2
=4026+8-2
=4032．
解：探究三：如图，三角形内部的三点共线与不共线时都分成了7部分，故答案为：7；分割示意图（答案不唯一）
探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（1-1），
三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2-1），
三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3-1），
…，
所以，三角形内部有m个点时，3+2（m-1）或2m+1；
探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m个点，
则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m-1）或2m+2；
问题解决：n+2（m-1）或2m+n-2；
实际应用：把n=8，m=2013代入上述代数式，得
2m+n-2
=2×2013+8-2
=4026+8-2
=4032．
点评：本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．
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