Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE=∠CDF．
（1）求证：AE=CF；
（2）连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．

Answer 1

(1)证明见解析
(2)四边形DEGF是菱形．理由见解析

试题分析：（1）由正方形的性质可得AD=CD，∠A=∠C=90°，然后利用“SAS”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF；
（2）由（1）可得BE=BF，从而可得DE=DF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得BD为EF的中垂线，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证．
试题解析：（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，
又∵∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF；
（2）四边形DEGF是菱形．
理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，
∵AE=CF，
∴AB﹣AE=BC﹣CF，
即BE=BF，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴BD垂直平分EF，
又∵OG=OD，
∴四边形DEGF是菱形．