题目内容
如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．有下列结论①四边形EDCN是菱形
②四边形MNCD是等腰梯形
③△AEM与△CBN相似
④△AEN与△EDM全等
其中正确的有（ ）个．
分析：首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得①正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得②正确，△AEM为钝角三角形，△CBN为锐角三角形，可判断③错误，结合①②的结论可判定④正确．
解答：解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，
∴四边形EDCN是菱形，故①正确；
∵AC=AD，
∴∠NCD=∠MDC，
∴四边形MNCD是等腰梯形，即②正确；
∵△AEM为钝角三角形，△CBN为锐角三角形，
则△AEM与△CBN不相似，故③错误；
∵△AEB≌△EDA（SSS），
∴∠AEN=∠EDM，AE=ED，
由①②可得MD=CN=NE，
在△AEN和△EDM中，
，
∴△AEN≌△EDM（SAS），故④正确．
故正确的有3个．
故选：C．
∴AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，
∴四边形EDCN是菱形，故①正确；
∵AC=AD，
∴∠NCD=∠MDC，
∴四边形MNCD是等腰梯形，即②正确；
∵△AEM为钝角三角形，△CBN为锐角三角形，
则△AEM与△CBN不相似，故③错误；
∵△AEB≌△EDA（SSS），
∴∠AEN=∠EDM，AE=ED，
由①②可得MD=CN=NE，
在△AEN和△EDM中，
|
∴△AEN≌△EDM（SAS），故④正确．
故正确的有3个．
故选：C．
点评：本题考查了正五边形的性质、全等三角形的判定等知识，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．
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