Question

学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔。文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售。一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售。已知购买3支A型毛笔和4支B型毛笔共支付18元；购买5支A型毛笔和10支B型毛笔共支付40元。　
（1）求A、B两种类型的毛笔的零售价；　
（2）如果全组共有15名同学，若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付多少元？　　
（3）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价(即(1)中所求得的A型毛笔的零售价)的90%出售，现要购买A型毛笔a支，B型毛笔20支，在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由。

Answer 1

解：（1）设A、B两种类型的毛笔的零售价分别为x元/支，y元/支，
                则
                ∴A、B两种类型的毛笔的零售价分别为2元/支，3元/支；
        （2）由题意及(1)可得：　　
                 共支付20×2+(15×2-20)×(2-0.4)+15×3=101(元)；
         （3）设按原来的销售方法购买花钱为y₁元，按新的销售方法购买花钱为y₂元， 
                则：当0≤a≤20时，y₁=2a+15×3+(20-15)×(3-0.6)=2a+57 　　
                                               y₂=a×0.9×2+15×3+(20-15)×(3-0.6)=1.8a+57 　　
                       ∴y₁-y₂=2a+57-(1.8a+57)=0.2a 　　
                       ∵0≤a≤20，          
                       ∴0.2a≥0，        ∴y₁-y₂≥0，即y₁≥y₂；
                   　当a＞20时，y₁=20×2+(a-20)×(2-0.4)+15×3+(20-15)×(3-0.6)=1.6a+65 　　
                                          y₂=a×0.9×2+15×3+(20-15)×(3-0.6)=1.8a+57 　　
                                         ∴y₁-y₂=1.6a+65-(1.8a+57)=-0.2a+8=-0.2(a-40) 　
                　∴当a＜40时，y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂；　　
                    当a=40时，y₁-y₂=0，即y₁=y₂；　　
                   当a＞40时，y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂；
                  综上所述，当0＜a＜40时，按新的销售方法购买花钱少；　　
                                   当a=0或a=40时，两种方法购买花钱一样少；　　
                                   当a＞40时，按原来的销售方法购买花钱少。